冪函數(shù)定義范圍(冪函數(shù)定義域是什么)

說到函數(shù)，不管大家數(shù)學(xué)成績?nèi)绾?，多多少少都會了解一些。函?shù)這一塊知識內(nèi)容可以說是貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是進入初中后，我們就要學(xué)到一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等等。進入高中、大學(xué)就更不用說，出現(xiàn)各種各類的函數(shù)，讓很多人直呼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不容易啊。

函數(shù)的學(xué)習(xí)非常講究邏輯系統(tǒng)性，加上整塊知識內(nèi)容抽象性非常強，知識點繁多等等，需要大家具備較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高綜合學(xué)習(xí)能力，才能從容面對函數(shù)的學(xué)習(xí)。如基于函數(shù)的圖象、性質(zhì)、表達式等等，我們?nèi)缛ッ枋鲆粋€函數(shù)，即函數(shù)的表示方法一般就有四種：解析式法，列表法、圖像法和語言描述法。

解析式法是指用含有數(shù)學(xué)關(guān)系的等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法。

列表法是指用列表的方法來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。

圖像法是指把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

解析式法，列表法、圖像法這三種方法是我們最常用表示函數(shù)的方法，各有各的優(yōu)缺點，如解析法的優(yōu)點是能簡明、準確、清楚地表示出函數(shù)與自變量之間的數(shù)量關(guān)系；缺點就是求對應(yīng)值時往往要經(jīng)過較復(fù)雜的運算，而且在實際問題中有的函數(shù)關(guān)系不一定能用表達式表示出來。

因此，基于這三種方法優(yōu)缺點，還有一種表示函數(shù)的方法叫語言敘述法，即使用語言文字來描述函數(shù)的關(guān)系。

很多人看到這里就能感受到函數(shù)學(xué)習(xí)的復(fù)雜性，這主要是基于函數(shù)本身的特殊性來決定。我們一起看看現(xiàn)代數(shù)學(xué)對函數(shù)作出的定義，大家就能看出一些端倪。

設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱映射f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。

其中x叫作自變量，y叫做x的函數(shù)，集合A叫做函數(shù)的定義域，與x對應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函數(shù)的值域，f叫做對應(yīng)法則。

其中，定義域、值域和對應(yīng)法則被稱為函數(shù)三要素，一般書寫為 y=f(x),x∈D，若省略定義域，一般是指使函數(shù)有意義的集合。

從函數(shù)的定義，我們可以看出函數(shù)是發(fā)生在集合之間的一種對應(yīng)關(guān)系。同時根據(jù)“如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f”這句話，我們一定要深入去理解發(fā)生在A、B之間的函數(shù)關(guān)系不止且不止一個。

因此，當(dāng)函數(shù)的對應(yīng)法則可以用解析式表示時候，我們就用解析式來表示；如果函數(shù)關(guān)系是無法用解析式表示的，那么就需要用圖像、列表及其他形式來表示。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)我們講究的是前因后果的邏輯關(guān)系，只有掌握好每一個環(huán)節(jié)，你才能真正地去理解某一個知識點所蘊含的意義，才能明白掌握基礎(chǔ)知識對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多么重要。就像函數(shù)這一概念，并不是憑空產(chǎn)生，它的發(fā)展歷史就是一部數(shù)學(xué)歷史的縮寫，我們一起來簡單了解一下。

在17世紀早期，意大利數(shù)學(xué)家伽俐略在《兩門新科學(xué)》一書中，就用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系，這是早期關(guān)于變量或函數(shù)概念的描述。

在1637年前后，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在他的解析幾何中，已經(jīng)提到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系。可惜的是可能居于當(dāng)時數(shù)學(xué)知識有限，笛卡爾沒有進一步提煉函數(shù)概念。

在17世紀后期，雖然英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓和德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茲建立微積分，為數(shù)學(xué)發(fā)展建立里程碑?？上У氖钱?dāng)時兩人以及同時期的數(shù)學(xué)家都沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。

如在1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數(shù)）表示“冪”，但他也只是用該詞來表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。牛頓在微積分的討論中，使用的是 “流量”來表示變量間的關(guān)系。

在1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·柏努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調(diào)函數(shù)要用公式來表示。

在1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其《無窮分析引論》一書中把函數(shù)定義為：“一個變量的函數(shù)是由該變量的一些數(shù)或常量與任何一種方式構(gòu)成的解析表達式?！?/p>

歐拉最大的進步就是把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。

1755年，歐拉給出了另一個定義：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?/p>

可以看出，歐拉的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義，促進當(dāng)時數(shù)學(xué)的發(fā)展。

在1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西結(jié)合前人的函數(shù)知識，從定義變量起給出了函數(shù)的定義：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。

柯西最大貢獻就是首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式?？上У氖强挛髡J為函數(shù)可以用多個函數(shù)解析式來表示，這就局限了函數(shù)的發(fā)展。

在1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，某些函數(shù)可以用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把人們對函數(shù)的認識推進了一個新的層次。

在1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷大膽提出，怎么樣去建立x 與y之間的關(guān)系不是重要事情。在這個基礎(chǔ)上狄利克雷拓廣了函數(shù)概念，他認為：對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。

狄利克雷對函數(shù)的定義最大特點就是避免了函數(shù)定義中對依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受，這也是我們經(jīng)常說的經(jīng)典函數(shù)定義。

函數(shù)的定義真正發(fā)生質(zhì)的變化，是在德國數(shù)學(xué)家康托創(chuàng)立集合論之后。

美國數(shù)學(xué)家奧斯瓦爾德維布倫運用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，利用集合概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了。從此打破了打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象 。

在1914年，德國數(shù)學(xué)家豪斯道夫在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念。

在1921年，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够谟眉细拍?，進一步定義“序偶”，使豪斯道夫的定義更加嚴謹。

在1930年，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正式對函數(shù)定義為：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為f。

元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。

函數(shù)關(guān)系從被發(fā)現(xiàn)到確立，前后經(jīng)歷數(shù)百年的時間，前前后后不知多少數(shù)學(xué)家投入其中，耗費大量的時間精力等等來研究?？吹竭@里，大家覺得自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)夠努力了嗎？

函數(shù)的英文名是function，翻譯成中文的時候，為什么是函數(shù)呢？

在1859年，我國清代著名數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書時，把“function”翻譯成中文的“函數(shù)”。

李善蘭認為中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，因此“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思，具體來說就是：凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)。

函數(shù)的發(fā)展簡史就是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的一個縮影，每一個在我們今天看來非常簡單的數(shù)學(xué)名詞，背后不知道有多少數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)工作者耗費一生投入其中，才有今天的數(shù)學(xué)成就。

因此，希望大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，一定要刻苦努力，講究方法，堅持不懈，多反思，多思考等等，這樣才能慢慢學(xué)好數(shù)學(xué)。